공통수학 1 - 1 - 17. 인수분해 - 복잡한 식의 인수분해 유형별 정리

1단원-3. 인수분해 - 02.복잡한 식의 인수분해

인수분해는 고등수학에서 반드시 익혀야 할 핵심 연산입니다. 지난 글에서는 인수분해에 대해 정리했다면 이번 글에서는 복잡한 식을 인수분해하는 다양한 방법을 익히고, 유형별로 정리하여 실전에서 사용되는 풀이법을 단계별로 설명합니다. 인수분해 문제에서 식의 꼴을 파악하고 적합한 풀이를 할 수 있도록 많이 연습해 두도록 합시다. 

 

개념원리 공통수학 1 : 65p~70p

 

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

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1-1. 공통부분이 있는 식의 인수분해

• 공통 부분이 있는 경우 치환을 이용하여 식을 간단한 꼴로 생각해 주시면 됩니다. 
• 괄호가 4개인 경우는 공통부분이 생기도록 2개씩 먼저 묶어 전개해 줍니다. 
  (1-1-3. 개념원리 20p 필수예제 05 참고)

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개념원리 67p 필수예제 03

(1)

$(a^2 + 3a - 2)(a^2 + 3a + 4) - 27$

• $a^2 + 3a = X$ (공통부분 치환)

$= ($ $X$ $- 2)($ $X$ $+ 4) - 27$

$= X^2 + 2X - 35$

$= (X + 7)(X - 5)$

• $A=a^2 + 3a$ (다시 대입)

$= (a^2 + 3a + 7)(a^2 + 3a - 5)$

더 이상 인수분해가 되는지 안되는지 꼭 확인하도록 합시다. 

 

(2)

치환은 계산의 편리를 위해 하는 것이지 바로 할 수 있다면 바로 하셔도 괜찮습니다. 

마지막에 한번더 인수분해가 가능한지 아닌지 확인해 주셔야합니다.

 

(3) 

인수분해는 하나의 항으로 만들어 주는 것입니다.

우리가 물건을 포장해야할때 잘못 포장 했다면 다 풀고 다시 포장을 해야하죠?

그것처럼, (3)번 문제의 $+24$가 남아있어 잘못 포장된것으로 생각할 수 있고, 식을 다시 다 전개해서 (다 풀고) 다시 인수분해(다시 포장)을 해줘야 하는 것입니다. 

 

괄호가 4개 나와있는 유형입니다. 공통부분이 생기도록 두개씩 전개해 줍니다. 1-1-3. 20p 필수예제 05에서 설명했기 때문에 바로 문제풀이로 들어가도록 하겠습니다.

 

• $(x-1)$과 $(x+2)$의 상수항의 합이 1이고,
• $(x-3)$과 $(x+4)$의 상수항이 1이므로
• 이렇게 두개씩 전개해주면 $x$의 계수가 1로 같아지게 됩니다.
• 그렇다면 $x^2+x$ 식이 공통부분이 되는구나 생각할 수 있습니다.

치환해서 전개 해 주셔도 되고 바로 해주셔도 됩니다. 

마지막에 인수분해가 더 가능한지 안한지 확인 꼭 하도록 합시다!

 

흐름을 정리하자면, 

괄호가 4개인 유형 → 공통부분 생기게 전개 → 공통부분을 치환 → 인수분해 → 최종 인수분해 

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1-2. 복이차식 인수분해

$x^2$만 언급이 되어있긴 하지만 넓게 보았을 때, 문자가 여러개이더라도 짝수차로만 이루어져 있다면 복이차식 풀이를 통해 풀어줄 수 있습니다. 

대표적인 복이차식 꼴로는 $x^4+ax^2+b$  꼴 입니다.

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개념원리 68p 필수예제 04

주어진식이 $x^4, x^2$, 상수항으로 이루어진 복이차식입니다. 그중에서도 (1)과 (2)번의 경우 바로 인수분해가 가능한 유형이고, (3)번과 (4)번의 경우 바로 X자 인수분해가 불가능한 유형입니다. 

 

(1)

$x^4 - 7x^2 + 12$

• 계수를 보니 인수분해 바로 가능해 보임
• $x^2 = X$ (치환)

$= X^2 - 7X + 12$

$= (X - 3)(X - 4)$

• $X = x^2$ 다시 대입

$= (x^2 - 3)(x^2 - 4)$

• 끝까지 인수분해

$= (x^2 - 3)(x - 2)(x + 2)$ 

 

(2)

$x^2=X$로 치환하지 않고 바로 인수분해 할 수 있겠다면 바로 해주셔도 됩니다. (저는 바로 하는 편입니다.)

 

(3)

인수분해가 불가능한 유형의 경우 최고차와 상수항을 고정시켜두고 완전제곱식꼴을 만들어 $A^2-B^2$ 꼴로 만들어 줘야합니다. 

 

후보 1 풀이
$x^4 - 8x^2 + 4$
$= x^4 + 4x^2 + 4 - 12x^2$ ← 등호 유지되도록 주의
$= (x^2 + 2)^2 - ($ $\sqrt{12}x$ $)^2$

 

후보 2 풀이
$x^4 - 8x^2 + 4$
$= x^4 - 4x^2 + 4 - 4x^2$ ← 등호 유지되도록 주의
$= (x^2 - 2)^2 - ($ $2x$ $)^2$

 

• 후보 1보다는 후보 2의 $A^2 - B^2$ 꼴이 깔끔합니다.
• 즉, $(\sqrt{12}x)^2$보다는 $(2x)^2$이 숫자가 깔끔하게 떨어지게 됩니다.
• 후보 2의 풀이를 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ 이용하여 마무리 해주면 됩니다. 

$= (x^2 - 2$ $-2x$ $)(x^2 - 2$ $+ 2x$ $)$ 

• 마지막에 항상 한번더 인수분해가 가능한지 확인해 주셔야 합니다!
• 여기서는 한번더 인수분해가 불가능하다는 것을 확인하고 답을 써주시면 됩니다. 

∴ $x^4 - 8x^2 + 4 = (x^2 - 2 - 2x)(x^2 - 2 + 2x)$

 

(4) 

후보 2개를 항상 생각하고 최종계산을 해주세요! 배운내용을 적용해서 풀어주면 아래와 같은 풀이가 됩니다. 

 

∴ $x^4 - 14x^2 + 1 = (x^2 + 1 + 4x)(x^2 + 1 - 4x)$

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1-3. 여러 개의 문자를 포함한 식의 인수분해 (문자 여러개, 항 여러개)

1-1-16. 63p 필수예제 02에서 한번 사용해 보았던 유형입니다. 문자와 항이 여러개인 경우 차수가 가장 낮은 문자를 먼저 파악 후 그 문자 기준 내림차순정리 해 줍니다. 내림차순 정리 후 여러 풀이 흐름이 있으니 잘 정리해 보도록 합시다. 

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개념원리 69p 필수예제 05

(1) $x^3 + x^2z - y^3 - yz^2 - y^2z - z^2$ 

① 차수가 낮은 문자를 찾기:
$x$: 3차, $z$: 2차, $y$: 3차 

② 차수 낮은 문자 $z$ 기준으로 내림차순 정리:
$= (x-y)z^2 + (x^2-y^2)z + (x^3-y^3)$

$= (x-y)z^2 + (x-y)(x+y)z + (x-y)(x^2+xy+y^2)$

1. $(x-y)$공통묶음 → cf) 최고차 계수를 묶는 경우가 많음
    $= (x-y)(z^2 + (x+y)z + (x^2+xy+y^2)) $
2. 정리
    $= (x-y)(x^2+y^2+z^2 + x^2+xy+y^2)$ ← 더이상 인수분해 불가

∴ $x^3 + x^2z - y^3 - yz^2 - y^2z - z^2 = (x-y)(x^2+y^2+z^2 + x^2+xy+y^2)$

 

(2) $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$

$= a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

① 차수가 낮은 문자를 찾기:
$a$: 2차, $b$: 2차, $c$: 2차 ← 차수가 모두 같으므로 어떤문자로 내림차순 정리하든 상관 없음

② 차수 낮은 문자 $a$ 기준으로 내림차순 정리: 
$= (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + bc(b-c)$

$= (b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

1. $(b-c)$공통묶음 → cf) 최고차 계수를 묶는 경우가 많음
   $= (b-c){a^2 - (b+c)a + bc}$
2. 한 번 더 인수분해 → $a^2 - (b+c)a + bc = (a - b)(a - c)$
   $= (b-c)(a-b)(a-c)$

∴ $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = (b-c)(a-b)(a-c)$

 

(3) $2x^2 + xy - y^2 + 10x + 4y + 12$

① 차수가 낮은 문자를 찾기:

$x$: 2차, $y$: 2차 ← 차수가 모두 같으므로 어떤문자로 내림차순 정리하든 상관 없음

② 차수 낮은 문자 $x$ 기준으로 내림차순 정리: 

$= 2x^2 + (y+10)x - (y^2 - 4y - 12)$

1. 상수항 인수분해
   $(y^2 - 4y - 12)$ 부분을 인수분해하면 $y^2 - 4y - 12 = (y+2)(y-6)$
   따라서, 전체 식은
   = $2x^2 + (y+10)x - (y+2)(y-6)$
2. 통째로 인수분해
   $2x^2 + (y+10)x - (y+2)(y-6)$
   $x$ --------------------- $+(y+2)$
   $2x$ --------------------- $-(y-6)$
   $= (x + y + 2)(2x - y + 6)$

∴ $2x^2 + xy - y^2 + 10x + 4y + 12 = (x + y + 2)(2x - y + 6)$

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여러개의 문자를 포함한 식의 인수분해 흐름 정리 

문자 여러개, 항 여러개 유형에서 지금까지 배운 흐름을 정리해 보자면, 

 

① 차수가 낮은 문자를 찾기

② 차수 낮은 문자 기준으로 내림차순 정리

1. 바로 'X'자 인수분해
   ex) 개념원리 63p 필수예제 02 (2), (3)
2. 공통 묶음 ( 대부분 최고차 계수인 경우가 많음 ) → 정리 후 끝
   ex) 개념원리 63p 필수예제 02 (1) , 개념원리 69p 필수예제 05 (1)
3. 공통 묶음 ( 대부분 최고차 계수인 경우가 많음 ) → 한번 더 인수분해
   ex) 개념원리 69p 필수예제 05 (2)
4. 상수항 인수분해 → 통째로 인수분해
   ex) 개념원리 69p 필수예제 05 (3)

정도로 정리할 수 있습니다.

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1-4. 인수정리를 이용한 인수분해 (문자 한개, 항 여러개)

문자의 종류는 1개이지만, 항이 여러개인 즉, 고차식의 인수분해에서는 인수정리와 조립제법을 이용해 인수를 하나하나 찾아줘야 합니다.

 

※ 인수정리
$f(a) = 0$ 이면 $f(x)$는 $(x-a)$를 인수로 가진다.
$f(a) = 0$ 이면 $f(x)$는 $(x-a)$로 나누었을 때 나머지가 $0$이다!

 

※ 조립제법
일차식으로 나눈 몫과 나머지를 구하는 방법
주의: 해석시 일차식의 $x$ 계수는 $1$

 

• 두 개념을 종합하여 정리해보면,
• 항 여러 개, 문자 1개인 고차식의 경우
• $f(a) = 0$을 만족하는 $a$를 찾아 조립제법을 해주면
• 식은 $(x-a)$를 인수로 가지게 되면서 인수분해가 되는 것입니다.
• 숫자를 직접 넣어가며 나머지가 $0$이 되는 $a$를 찾아줘야 합니다. 

 

tip
가장 먼저 확인해야 할 것!
$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$

• $f(1) = a + b + c + d + e $
  $a + b + c + d + e = 0$ 
  → 모든 계수의 합이 $0$이라면 $f(1) = 0$
  즉, $f(x)$는 $(x-1)$을 인수로 가진다 → 조립제법 후보: $1$
  
  
• $f(-1) = a - b + c - d + e $
  $a - b + c - d + e = 0$이면
  $a + c = b + d$
  → 짝수 차수 계수의 합 = 홀수 차수 계수의 합이라면 $f(-1) = 0$
  즉, $f(x)$는 $(x+1)$을 인수로 가진다 → 조립제법 후보: $-1$

tip

$k(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = kx^3 + \dots$ $- k\alpha\beta\gamma$
상수항은 최고차계수와 근들의 곱으로 이루어져 있으므로 상수항의 약수들이 근이 될 수 있는 후보가 됩니다. 

∴ 조립제법 후보 $= \pm \frac{\text{상수항의 약수}}{\text{최고차 계수의 약수}}$

 

cf) 정확한 증명은 "근의 계수 정리(Rational Root Theorem, 유리근 정리)나 라그랑주 정리" 등으로 설명할 수 있지만, 너무 어렵게 생각하지말고 식만 봐주도록 합시다. 

$- k\alpha\beta\gamma$에서 근을 찾기 위해서는 $k$를 나눠 주면 $- \alpha\beta\gamma$가 되고 이 수의 약수들이 근이 될 수 있는 후보가 되는 것입니다.

 

최고차 계수로 나눠버리는게 아니라 최고차계수의 '약수'로 나누는 이유는 편하게 계산하기 위함이라고 생각해 주시면 됩니다. 최고차계수로 그냥 나누었을 때에는 분수꼴이 생길 수 있으므로 조립제법을 하여 나머지가 0되는 값을 찾을 때 불편하게되니 빠르고 정확한 인수분해를 위해 가능한 정수근의 후보만 생각해주는 거구나 까지만 생각해 주세요. 

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이제 항은 여러개, 문자 1개인 유형 즉, 고차식을 인수분해 할 때 어떻게 접근하는지 문제를 통해 정리해 보도록 하겠습니다.

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개념원리 70p 필수예제 06

(1)

• 짝수차 계수 합과 홀수차 계수 합이 같으므로 조립제법의 후보는 $-1$이 됩니다.
• $-1$로 조립제법을 진행해 줍니다. 

• $-1$로 조립제법시 나머지가 0되므로 식은 $(x+1)$을 인수로 가지게 됩니다.
• 조립제법 해석시 $x$의 최고차 계수는 1로 해석 기억하시죠 ?!
• 조립제법을 해석한 식을 써주고 인수분해가 더 되는지 안되는지 확인해 주는 과정도 필수입니다.

∴ $x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x+1)(x-2)(x-3)$

 

처음 조립제법 틀을 써두고 항상 짝수차 계수 합과 홀수차 계수 합부터 적어주도록 합시다. 

이 두개의 값의 합이 0이라면(모든계수 합이 0인 것이니) 조립제법의 후보는 1인 것이고, 이 두개의 값이 같다면 조립제법의 후보는 -1 입니다. 

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(2)

• step1) 과정에서 조립제법 후보를 뽑을 수 없으니 step2) 과정으로 넘어갑니다.
• 조립제법 후보 $= \pm \frac{\text{상수항의 약수}}{\text{최고차 계수의 약수}}$ 이므로
• 후보는 $\pm \frac{24 \text{의 약수}}{3 \text{의 약수}} = \pm \frac{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}{1, 3}$ 입니다.

• 분모가 $1$인 경우:
  $\pm (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)$
• 분모가 $3$인 경우:
  $\pm \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{4}{3}, 2, \frac{8}{3}, 3, 4, 6, 8, 12, 24\right)$
• 중복되는 것을 제거하여 정리하면
  $\pm \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{4}{3}, 2, \frac{8}{3}, 3, 4, 6, 8, 12, 24\right)$

후보가 너무 많죠 ? 후보를 꼭 전부 다 구하고 계산을 할 필요는 없고, 계산이 편리한 정수들 위주로 먼저 넣어가며 나머지가 0이 되는지 바로바로 확인해 주셔야 합니다.

 

예를 들어 2나 -2를 넣어 조립제법을 먼저해보면, 나머지가 0이 되지 않는 다는 것을 알 수 있습니다. 이런경우 지우고 다른 수를 넣어 또 조립제법을 해주는 등 일일이 찾아야 합니다.

 

$-3$을 조립제법해보니 나머지가 0이 된다는 것을 확인하여 이어서 진행해 보도록 하겠습니다. ( $4$를 먼저 넣었어도 나머지가 0이 되고 아래와 비슷하게 풀이가 가능합니다. 물론 $(x-4)$ 인수부터 나오게 되겠죠.)

 

 

조립제법 해석시 $x$계수는 1 , 끝까지 인수분해하기 주의!

 

∴ $3x^3 - 5x^2 - 34x + 24 = (x+3)(3x-2)(x-4)$

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1-5. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일/pdf)

이 파일로 수업 내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지 테스트를 해보도록 합시다. 

1단원-3. 인수분해 (개념원리 공통수학1 65p~70p) 백지테스트.hwp

0.02MB

1단원-3. 인수분해 (개념원리 공통수학1 65p~70p) 백지테스트.pdf

0.12MB

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"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

 

"이 블로그는 개념원리 교재를 참고하여 학습 내용을 정리하였으며, 저작권 보호를 위해 원문 문제는 제공하지 않고 제 풀이와 학습 팁을 중심으로 구성하여 독창적인 풀이와 함께 효율적인 학습 방법을 공유합니다."