공통수학 1 - 1 - 19. 인수분해 확인체크 주요 문항 정리

1 - 3. 인수분해 확인체크 주요 문항 정리

인수분해는 고등수학에서 필수적인 개념으로, 다양한 공식과 조립제법을 활용하여 복잡한 다항식을 간단한 곱셈 형태로 변형하는 과정입니다. 특히, 개념원리 공통수학 1의 인수분해 확인체크 문제는 수능과 내신 대비에 중요한 연습자료로, A² - B² 공식 활용, 공통인수 묶기, 치환법, 조립제법을 통한 고차 다항식 인수분해 등의 핵심 개념을 익히기에 적합합니다. 이번 글에서는 다양한 인수분해 문제 풀이법과 유형별 전략을 상세히 다루어, 보다 빠르고 정확한 계산 능력을 키울 수 있도록 연습해 봅시다.

 

개념원리 공통수학 1 : 60p ~ 72p

 

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

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1-1. 확인체크 풀이 

개념원리 64p 확인체크 121

$4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2$
$= (2ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2$

• $A^2-B^2$ 꼴 입니다.

$= (2ab - (a^2 + b^2 - c^2))(2ab + (a^2 + b^2 - c^2))$

• 정리해 주면, 각각의 괄호 내부에도 $A^2-B^2$ 꼴이 보이도록 정리해 줍니다. 

$=$ $(c^2 - (a^2 - 2ab + b^2))$ $((a^2 + 2ab + b^2) - c^2)$
$=$ $(c^2 - (a - b)^2)$ $((a + b)^2 - c^2)$

• $A^2-B^2 = (A-B)(A+B)$를 이용하여 끝까지 인수분해 해주셔야 합니다. 

$=$ $(c - a + b)(c + a - b)$ $(a + b - c)(a + b + c)$

 

∴$(c - a + b)(c + a - b)(a + b - c)(a + b + c)$

 

혹시나 식이 너무 복잡하다고 못푼 학생들이 있을까봐 풀이를 설명했습니다. 

차근차근 식을 괄호이용해 적는 습관을 가지도록 합시다.

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개념원리 69p 확인체크 124 (4)

$x^2 - y^2 + 2yz + 2xz + 4x + 2y + 2z + 3$

문자 여러 개, 항 여러 개 → 차수 낮은 문자 기준 내림차순 정리!!!

 

① 차수가 낮은 문자를 찾기:

$x$: 2차, $y$: 2차, $z$: 1차

 

② 차수 낮은 문자 $z$ 기준 내림차순 정리

→ 상수항이 복잡한 경우 내림차순 정리하여 적어주도록 합시다. ($x$기준 내림차순 정리)

$2(y + x + 1)z + x^2 + 4x - y^2 + 2y + 3$ 

 

여기서, 일차식인 경우 대부분 최고차항의 계수가 공통부분이 됩니다.

하지만, 공통부분이 보이지 않기 때문에 상수항을 인수분해하여 간단히 정리할 수 있습니다.

$z$ 1차항은 그대로 두고, 상수항을 인수분해 하는데에만 집중하시면 됩니다. 

이 문제에서는 상수항 인수분해를 위해 두번 연달아 인수분해를 해야 합니다. 

 

$2(y + x + 1)z + (x - y + 3)(x + y + 1)$

• 이후, $(x+y+1)$이 공통이므로 묶어주면,

∴ $(x + y + 1)(x - y + 2z + 3)$

 

이 문제에서 독특한점은 기준문자 $z$의 상수항이 복잡하여 인수분해를 두번 연달아 해주는 과정이였습니다.

문제의 큰 흐름이 내림차순 정리 후 → 상수항 인수분해 → 공통 묶기로 지금까지 보지 못했던 흐름이기도 합니다. 

하지만, 인수분해 연습을 많이 했다면 충분히 할 수 있을 만한 문제였으니 힘내보도록 합시다!! 

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개념원리 70p 확인체크 126

주어진 다항식이 $x-2$를 인수로 가진다 하였습니다.

• 문제에서는 인수분해 하는 것이 목적이고
• 주어진 다항식이 문자 1개, 항 여러개의 고차식이므로
• 조립제법과 연관지어 생각을 해주시면 됩니다. 

" $x-2$를 인수로 가진다 " 조건에서 알 수 있는 점

• 조립제법 후보가 2 
• 2로 조립제법을 하면 나머지가 0 

 

바로 $a$의 값을 알 수 있게 되고 

여기서 연달아 조립제법을 사용해 주셔도 되고 식을 적은 후 'X'자 인수분해를 이용해 주셔도 됩니다. 

 

• 연달아 조립제법을 사용하는 경우
  1 -4 3 으로 짝수차 계수합 = (1)+(3) , 홀수차 계수합 = -4 
  두 계수의 합이 0이므로 조립제법 후보 1 이용하여 조립제법 해줌
  
  
• 식을 적은 후 'X'자 인수분해하는 경우
  $ (x - 2)(x^2 - 4x + 3) $
  $ = (x - 2)(x - 1)(x - 3) $

 

∴ $(x - 2)(x - 1)(x - 3) $

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개념원리 71p 확인체크 127 (3)

$ 10^2 - 12^2 + 14^2 - 16^2 + 18^2 - 20^2 $

• 각 항의 차이가 2이므로, 두 개씩 묶어 $A^2 - B^2$ 형태로 변형하면 -2가 공통인수로 나타납니다.

$ = (10^2 - 12^2) + (14^2 - 16^2) + (18^2 - 20^2) $

• $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$이용

$ = (10 - 12)(10 + 12) + (14 - 16)(14 + 16) + (18 - 20)(18 + 20) $

$ = -2(22) - 2(30) - 2(38) $

• 공통인 $-2$로 묶어줍니다

$ = -2(22 + 30 + 38) $

$ = -2(90) $

$ = -180 $

 

∴ -180

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개념원리 71p 확인체크 128

주어진 $x,y$가 서로 켤레 관계 입니다. 켤레관계인 경우 합-차-곱 이용!! 기억하시죠 ?!

• $ x + y = 2 $
• $ x - y = 2\sqrt{3} $
• $ xy = 1 - 3 = -2 $

주어진 식을 $x$에 대해 내림차순하여 정리해주고 공통인항을 묶어주시면 됩니다. 

$ x^3 - yx^2 - y^2x + y^3 $

$ = x^2(x - y) - y^2(x - y) $

• $(x-y)$가 공통

$ = (x - y)(x^2 - y^2) $

$ = (x - y)(x - y)(x + y) $

$ = (x - y)^2 (x + y) $

• $ x - y = 2\sqrt{3} $, $ x + y = 2 $ 이용

$ = (2\sqrt{3})^2 (2) $

$ = 24 $

 

∴ 24

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참고:)

$ x^3 - yx^2 - y^2x + y^3 $ 에서,

$x$를 기준문자로 보고 이외의 문자 $y$를 상수항 처럼 생각해주면 $x$에 대한 고차식으로 생각할 수 있으므로 조립제법 풀이도 가능합니다. 

 

계수가 $1, -y, -y^2, y^3$으로 점점 $y$가 곱해지는 형태이므로 조립제법 후보로 $y$를 넣어 조립제법 해보면, 

이런식으로 조립제법이 가능해 집니다. 

 

이후 더 연달아 조립제법을 해주셔도 되고 식을 적고 난 후 인수분해를 해주셔도 됩니다.

 

그냥 참고용으로만 알아두도록 해주세요 !! 크게 중요한 풀이는 아닙니다.

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개념원리 72p 확인체크 129

문제의 주어진 식이 문자 여러 개, 항 여러 개  

차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다.

 

① 차수가 낮은 문자를 찾기:

$a$: 2차, $b$: 2차, $c$: 1차

 

② 차수 낮은 문자 $c$ 기준 내림차순 정리

$(a - b)c + a^2 - b^2 = 0$
$(a - b)c + (a - b)(a + b) = 0$

1. 공통부분 보이도록 정리 후 묶어주기
   $(a - b)(a + b + c) = 0$

삼각형 세 변 $a, b, c$ 이므로 모두 양수입니다. $\Rightarrow a + b + c \neq 0$

$\therefore a - b = 0$ 이여야 합니다. 

 

∴ $a = b$인 이등변 삼각형

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개념원리 72p 확인체크 130

삼각형 세 변의 길이 $a, b, c$ (모두 양수) , 주어진 식

이 두가지 조건을 보고 바로 결론으로 $a = b = c$가 나왔다면 성공입니다. 

너무 자주 나온 공식입니다. 문제풀이를 마쳐두고 아래에서 설명하도록 할께요.

• 둘레의 길이가 $18 \Rightarrow a + b + c = 18 \Rightarrow a = b = c = 6$ (정삼각형)
• 정삼각형 넓이 $= \frac{\sqrt{3}}{4} (6)^2 = 9\sqrt{3}$

∴ $9\sqrt{3}$

 

정삼각형 넓이 공식 증명에 대한 설명도 아래에서 하겠습니다. 

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(추가 설명)

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$

$(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$

$(a + b + c) \cdot \frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) = 0$

삼각형 세 변의 길이 $a, b, c$ (모두 양수) $\Rightarrow a + b + c \neq 0$

$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$

$\therefore a = b = c$

 

이해가 안된다면, 

곱셈 공식의 변형 (5)번 공식을 참고해 주세요. 

추가로 RPM 16p 84번 설명도 참고해 주세요. 

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정삼각형 넓이 공식 증명

 

1. 한변의 길이가 $a$인 정삼각형을 반으로 잘라 직각 삼각형으로 만든다. 
   정삼각형에서 밑변은 수직이등분 됨 (반쪽 길이 $\frac{1}{2}a$)
   
   
2. 삼각비 (또는 피타고라스)를 이용해 높이를 구한다. 
   높이 = $\frac{\sqrt{3}}{2} a$
   
   
3. 일반 삼각형 넓이 공식 적용 
   한변의 길이가 $a$인 정삼각형 넓이 
   $= \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} $
   $ = \frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2} a $
   $ = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 $
   
   

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