공통수학 1 - 1 - 22. 인수분해 RPM 주요 문제 풀이 1

1단원 - 3. 인수분해 

인수분해는 공통인수, 복이차식, 조립제법, 곱셈공식 등을 활용하여 다항식을 단순화하는 중요한 개념입니다. 특히, 고등수학에서 인수분해 공식을 정확히 적용하는 능력은 이차방정식 풀이, 다항식 정리, 함수 분석과 같은 다양한 문제 해결에 필수적입니다. 이번 글에서는 RPM 공통수학 1 (34p~39p) 연습문제를 통해 복이차식의 활용, 조립제법을 이용한 인수분해, 특수한 인수분해 공식 등을 단계별로 분석하며 효율적인 풀이법을 제공합니다.

 

RPM 공통수학 1 : 34p ~ 39p

 

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

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RPM 34p 224번

$16x^4 + 36x^2y^2 + 81y^4$

$x$의 짝수차수, $y$의 짝수 차수로 이루어져 있으므로 복이차식 풀이를 해줍니다.

• 복이차식 풀이에서 가장 먼저 생각할 점은 인수분해가 가능한지 불가능한지 판단하는 것 입니다.
• 인수분해가 불가능해 보이므로 $A^2 - B^2$ 꼴로 만들어주기 위한 후보를 생각해 봅시다.

 

후보1) $16x^4$ $+ 72x^2y^2$ $+ 81y^4$ $- 36x^2y^2$ $\rightarrow A^2 - B^2$ 꼴 만들기 좋음

후보2) $16x^4$ $- 72x^2y^2$ $+ 81y^4$ $+ 108x^2y^2$

 

후보1)을 이용하여 풀이를 계속 해줍니다.

$16x^4 + 72x^2y^2 + 81y^4$ $- 36x^2y^2$

$= (4x^2 + 9y^2)^2$ $- (6xy)^2$
$= (4x^2 + 9y^2 - 6xy)(4x^2 + 9y^2 + 6xy)$

 

$a=6 , b=-6$ 또는 $a=-6 , b=6$ 인데,

결국 $ab$의 값을 구하는 것이기 때문에 둘 중 어느것인지 판단해줄 필요는 없습니다.

∴$a \cdot b = -36$

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RPM 35p 235번

$a^4 + 0 \cdot x^2 + 4$ 꼴로 정리하면 복이차식이라는 것을 알 수 있습니다. 

바로 인수분해는 불가능하므로 $A^2 - B^2$ 꼴로 만들어주기 위한 후보를 생각해 봅시다.

 

후보1) $a^4$ $+ 4a^2$ $+ 4$ $- 4a^2$ → $A^2 - B^2$ 꼴 만들기 좋음

후보2) $a^4$ $- 4a^2$ $+ 4$ $+ 4a^2$

 

후보1)을 이용하여 풀이를 계속 해줍니다.

$a^4 + 4a^2 + 4 - 4a^2 = (a^2 + 2)^2 - (2a)^2$
$= (a^2 + 2 - 2a)(a^2 + 2 + 2a)$

 

→ $(a^2 + 2 + 2a)$를 인수로 가지므로 

∴ 답 : 5번

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RPM 36p 242번

• $[a,b,c] = a^2(b-c)$,
• $[b,c,a] = b^2(c-a)$,
• $[c,a,b] = c^2(a-b)$ 이므로 

$[a,b,c] + [b,c,a] + [c,a,b]$

$= a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$
$= a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

• 문자 여러 개, 항 여러 개이므로 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다.

① 차수가 낮은 문자를 찾기:
$a$: 2차, $b$: 2차, $c$: 2차 ← 차수가 모두 같으므로 어떤문자로 내림차순 정리하든 상관 없음

 

② 차수 낮은 문자 $a$ 기준으로 내림차순 정리:
$= (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + bc(b-c)$

$= (b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

1. $(b-a)$공통묶음 → cf) 최고차 계수를 묶는 경우가 많음
   $= (b-c)\left(a^2 - (b+c)a + bc\right)$
2. 한번 더 인수분해
   $= (b-c)(a-b)(a-c)$

인수인 것은 

∴ 답 : 1번

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RPM 37p 246번

반지름 길이가 $x+a$, 높이가 $x+b$인 원기둥

• 우변의 식을 좌변의 식처럼 곱꼴로 만들어주기 위해 인수분해를 해줘야 합니다.
• 문자가 $x$ 1개이고 항은 여러개인 고차식이므로 조립제법을 이용하여 인수분해 해줍니다. 

 

💡 항상 조립제법을 할때는 짝수차 계수합, 홀수차 계수합을 꼭 확인해 주세요! 

 

∴ $a=3, b=4$ 이므로 $a+b = 7$

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RPM 37p 248번

주어진 조건 :

• $x^2$의 계수가 1인 이차식 $f(x), g(x)$
• $f(x) \cdot g(x) = x^4 + 3x^3 - 4x = x(x^3 + 3x^2 - 4)$ 

이처럼 곱꼴이 주어진 경우 인수개념을 이용해 식을 구할 수 있었죠? 

조립제법을 한 후 식을 분할 해주시면 됩니다. ( $ x^3 + 3x^2 - 4 $만 따로 조립제법 해주도록 할께요 :)

 

①조립제법

 

 

② 식의 분할 

💡 둘 다 최고차 계수가 1인 이차식이므로 인수를 2개씩 나누어 가져야 함

가능한 모든 경우 case 분류

$\rightarrow x$입장에서는 $(x-1)$과 묶이거나 $(x+2)$와 묶일 수 밖에 없으니 2가지의 case가 나오게 됩니다.

1. $x(x-1), (x+2)^2$
2. $x(x+2), (x-1)(x+2)$

$f(-2) > 0$ 조건을 위해 $x = -2$ 을 대입해 보면, 

1. $6, 0$
2. $0, 0$

이므로 양수의 값을 가지는 것은 $x(x-1)$ 뿐이므로 $f(x) = x(x-1), g(x) = (x+2)^2$ 인 경우 $f(-2) > 0$ 성립

 

$f(3) = 6, g(2) = 16$ 이므로

∴ $f(3) + g(2) = 22$

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RPM 37p 249번

두가지 풀이로 진행해 보도록 하겠습니다. 

 

풀이1:)

" $(x+1)^2$를 인수로 가진다." → 바로 식세우기 

$x^3$ $+ ax^2 + bx$ $+ 2$ $= (x+1)^2$ $($ $x$ $+2$ $)$

좌변이 삼차이고 최고차 계수 1, 상수항 2이므로 바로 $x+2$ 식 세우기가 가능합니다. 

 

$x^2$의 계수와 $x$의 계수를 구해야 하므로,

$\therefore a \times b = 4 \times 5 = 20$

 

풀이2:)

"$(x+1)^2$를 인수로 가진다." → 조립제법 $-1$로 2번 연속 가능, 나머지는 $0$

​​

$1-b+a=0$과 $b-2a+3=0$ 식을 정리하여 연립해 주면 $a=4, b=5$
$\therefore a \times b = 4 \times 5 = 20$

 

같은 인수를 가진다 조건이라도 어떻게 해석을 하냐에 따라 풀이과정이 달라집니다.

두가지 해석 모두 중요하니 모두 연습해 주도록 합시다!

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RPM 37p 250번

자주 나오는 공식이니 알아두도록 합시다. 

• $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$
• $x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$
• $x^4 - 1 = (x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)$
  $\dots$
• $x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + x^{n-3} + \dots + x + 1)$ ← 일반화 시킨 식

조립제법을 이용하여 이를 증명해보면, 

 

$x^n-1$을 $(x-1)$로 나누었을 때를 조립제법 해보면,

• 몫의 계수는 계속 1이 나온다는 것을 알 수 있습니다.
• 그러다 상수항의 $-1$을 만나면 제거되어 나머지 0이 나오게 되는 것이죠. 

이처럼 $x^n-1$을 $(x-1)$로 나누었을 때, 몫은 $(x^{n-1} + x^{n-2} + x^{n-3} + \dots + x + 1)$ , 나머지는 0이 됩니다.

 

자주 나오는 공식이므로 꼭 알아두도록 합시다.

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이제 이 공식을 적용하여 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 

 

풀이1:)

$x^{20} - 1 = (x-1) \cdot (x^{19} + x^{18} + \dots + x + 1)$ ← 위의 공식 이용

• $(x-1)$로 나누었을 때 몫 $ x^{19} + x^{18} + \dots + x + 1 $, 나머지 0

$(x-1)^2$으로 나누었을 때의 나머지를 구해야 하는 것이므로

몫인 $ x^{19} + x^{18} + \dots + x + 1 $을 $(x-1)$로 한 번 더 나눠주면

$x^{19} + x^{18} + \dots + x + 1 = (x-1)Q(x) + R$

• $x=1$ 대입: $20 = R$

$x^{19} + x^{18} + \dots + x + 1 = (x-1)Q(x) + 20$

 

즉,

$x^{20} - 1$

$= (x-1)($ $x^{19} + x^{18} + \dots + x + 1$ $)$

$= (x-1)($ $(x-1)Q(x) + 20$ $}$

$= (x-1)^2 Q(x) + 20(x-1)$

$(x-1)^2$로 나누었을 때 나머지 $20x - 20$ ← 나누는 식 차수 $>$ 나머지 차수이므로 성립

 

$\therefore R(x)= 20x - 20$

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풀이2:)

풀이1의 과정은 $x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + x^{n-3} + \dots + x + 1)$ 공식으로 시작해 준 것이고

풀이2의 과정은 모르는 몫과 나머지를 미지수를 이용해 식을 세워 구하고 공식을 이용해 준 차이 입니다. 

어떤식으로 시작을 하느냐에 차이가 있을뿐 풀이1과 같은 과정이라 생각하시면 됩니다. 

 

$x^{20} - 1$을 $(x-1)^2$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $ax + b$ (a, b는 상수)라 하면

$x^{20} - 1 = (x-1)^2 Q(x) + ax + b$

• 이 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면
• $0 = a + b$
  $\therefore b = -a$
• 나머지 : $ax+b = ax - a = a(x-1)$

$x^{20} - 1 $

$= (x-1)^2 Q(x) + a(x-1)$

$= (x-1)$ $((x-1)Q(x) + a)$

• 이 식은, $x^{20} - 1 = (x-1) \cdot (x^{19} + x^{18} + \dots + x + 1)$ 식과 같으므로
• $x^{19} + x^{18} + \cdots + x + 1 = (x-1)Q(x) + a$ 입니다. 

$x^{19} + x^{18} + \cdots + x + 1 = (x-1)Q(x) + a$

이 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면

$a = 20$ → $b = -20$

$\therefore R(x) = ax + b = 20x - 20$

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RPM 38p 252번

$z = 1 - xy$을 이용하여 주어진 식의 문자를 줄여줍니다.

$2xy - x^2y - xy^2 - xy$ $z$

$2xy - x^2y - xy^2 - xy$ $(1 - xy)$

문자 여러 개, 항 여러 개 $\rightarrow$ 차수 낮은 문자 기준 내림차순 정리

 

① 차수가 낮은 문자를 찾기:
$x: 2차$, $y: 2차$  ← 차수가 모두 같으므로 어떤문자로 내림차순 정리하든 상관 없음

 

② 차수 낮은 문자 $x$ 기준으로 내림차순 정리:

$=(-y + y^2)x^2 + (y - y^2)x$

1. $(-y + y^2)$ 공통 묶기
   $= (y^2 - y)(x^2 - x)$
2. 한번 더 인수분해 가능
   $= y(y - 1)(x)(x - 1)$
   $= x \cdot y \cdot (x - 1)(y - 1)$

주어진 식 $= x \cdot y \cdot (x - 1)(y - 1)$ 이라는 결론이 나오나,

정답이 없으므로 $z = 1 - xy$를 한번 더 이용하여 주어진 식을 $x, y, z$에 대한 식이 되도록 정리해 줍니다. 

 

$ x \cdot y \cdot (x - 1)(y - 1)$

$= (1 - z)(x - 1)(y - 1)$  ← $xy = 1 - z$ 대입

$= (1 - z)( - (1 - x))( - (1 - y))$  ← $ (x - 1) = - (1-x)$ , $(y-1) = - (1-y)$ 로 바꿔 답이 보이도록 정리 

$= (1 - z)(1 - x)(1 - y)$

 

∴  정답 : 3번

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RPM 38p 255번

$x = 2 + \sqrt{3}, , y = 2 - \sqrt{3}  \rightarrow$ 켤레관계 주어졌습니다.

이런경우 합, 차, 곱을 이용해 줍니다. 

 

$x + y = 4$, $x - y = 2\sqrt{3}$, $xy = 1$ 이 세가지 식을 사용할 준비를 하셔야 합니다!

$\rightarrow x+y, x-y, xy$ 보이도록 식 정리

 

$x^4 - x^3y - xy^3 + y^4$

$= x^3(x-y) - y^3(x-y)$

$= (x-y)(x^3-y^3)$

$= (x-y)((x-y)^3 + 3xy(x-y))$ ← $x - y = 2\sqrt{3}$, $xy = 1$ 이므로

$= (2\sqrt{3})((2\sqrt{3})^3 + 3 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{3})$

$= 2\sqrt{3} \cdot (24\sqrt{3} + 6\sqrt{3})$

$= 60 \cdot 3 = 180$

 

∴ 180

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RPM 38p 257번

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz + zx)$ 공식에서

$x+y+z = 0$ 이므로 우변이 전부 0이 됩니다.

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0$

$\therefore x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$

 

최종계산 :)

$\frac{5xyz}{x^3 + y^3 + z^3} = \frac{5xyz}{3xyz} = \frac{5}{3}$

∴ $\frac{5}{3}$

 

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0$ 이라는 조건 대신, $x+y+z = 0$이라는 조건을 주면서 조건을 살짝 돌려 말한 것입니다. 

공식을 바로 떠올릴 수 있어야합니다.!!

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RPM 39p 259번

주어진 식을 두 항씩 묶어 $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ 공식을 이용해 줍니다.

그러면 수가 $2$ 차이씩 나기 때문에 $2$가 공통되어 나오게 되고 이를 묶어 계산하면 편리해 집니다.

 

$(15^2 - 13^2) + (11^2 - 9^2) + (7^2 - 5^2) + (3^2 - 1^2)$

$= (15-13)(15+13) + (11-9)(11+9) + (7-5)(7+5) + (3-1)(3+1)$

$= 2 \cdot 28 + 2 \cdot 20 + 2 \cdot 12 + 2 \cdot 4$

$= 2 \cdot (28 + 20 + 12 + 4)$

$= 2 \cdot 64$

$= 128$

∴ 128

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RPM 39p 260번

$f(x) = x^4 - x^3 - 3x^2 + 5x - 2$이 주어져있고, $f(11)$의 값을 구하는 것이 목표입니다. 

그냥 대입하여 계산하기에는 계산과정이 복잡하기 때문에 인수분해를 하여 식을 정리해 준 후 대입해 줄 것입니다. 

$f(x)$의 식이 항은 여러개, 문자는 1개인 고차식이므로 조립제법을 이용하여 인수분해 해줍니다.

 

여기서, "개념원리 74p 연습문제 141번" 문제의 설명을 참고하여 생각해보면,

• 10의 배수가 계산이 편리하기 때문에 $11$에 $-1$을 해주면 계산이 편리해지겠죠?
• $11=x$라 하면, 원하는 식은 $(x-1)$을 인수로 가지는 식이므로
• 조립제법의 후보가 1이 되지 않을까? 추측을 해보고 들어갈 수 있습니다. 
• 혹시나 1을 조립제법 해봤는데 아니라면, 조립제법 후보를 확인해 주시면 됩니다. 

 

💡 조립제법을 할때에 가장 먼저 생각해야할 점 : 짝수차 계수합과 홀수차 계수 합 확인

 

조립제법의 결과를 쓰면 $f(x) = (x-1)^3(x+2)$ 이므로 

$f(11) = 10^3 \cdot (13) = 13000$

∴ 13000

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"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

 

"이 블로그는 개념원리 교재를 참고하여 학습 내용을 정리하였으며, 저작권 보호를 위해 원문 문제는 제공하지 않고 제 풀이와 학습 팁을 중심으로 구성하여 독창적인 풀이와 함께 효율적인 학습 방법을 공유합니다."